Гармонические колебания: от дифференциального уравнения к формуле

Все гармонические колебания — механические, электрические, любые — описываются одним и тем же уравнением: вторая производная величины по времени пропорциональна самой величине с противоположным знаком. Коэффициент пропорциональности и есть квадрат циклической частоты.

Практический приём: получив уравнение движения, приведите его к этому виду, и период выпишется сразу, без отдельного вывода. Так получаются все стандартные формулы — для груза на пружине, для математического и для физического маятника; последний сводится к первым двум заменой приведённой длины.

Что стоит помнить о таких колебаниях:

• период не зависит от амплитуды — но только пока колебания малые; для маятника это означает малый угол отклонения;
• кинетическая и потенциальная энергии колеблются с удвоенной частотой, а их сумма постоянна;
• скорость максимальна в положении равновесия, ускорение — в крайних точках.

Затухание добавляет в уравнение слагаемое с первой производной: амплитуда убывает по экспоненте, а частота слегка уменьшается по сравнению со свободной. При сильном затухании колебаний нет вовсе — движение становится апериодическим.

Вынуждающая сила даёт резонанс: амплитуда максимальна, когда частота вынуждающей силы близка к собственной, и тем выше и острее пик, чем слабее затухание. Проверяйте по этому пределу свои ответы в задачах на резонанс: при стремлении затухания к нулю амплитуда должна неограниченно расти.